Signale und Systeme - Einführung

1. Periodizität kontinuierlicher Signale

Aufgabenstellung

Überprüfen Sie die folgenden Zeitsignale auf Periodizität:

  1. \(v(t) = \sin(\omega_0 t)\cdot \cos(\sqrt{2}\; \omega_0 t) \)
  2. \(v(t) = \sin(\omega_0 t) \cdot\cos(\sqrt{2} \;\omega_0 t) - \frac{\tan(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\omega_0 t)}{1 + \tan^{2}(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\omega_0 t)}\)
  3. \(v(t) = \sin(\omega_0 t) \cdot\cos(\sqrt{2} \;\omega_0 t) + \cos(\omega_0 t)\cdot \sin(\sqrt{2} \;\omega_0 t)\)
  4. \(v(t) = \sum\limits_{n=1}^{5}\sin\left(\sqrt{n}\;\omega_0 t\right) \)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Nicht periodisch.
  2. Periodisch mit Periodendauer \(T = \frac{T_0}{1-\sqrt{2}}= \frac{2\pi}{(1-\sqrt{2})\omega_0}\)
  3. Periodisch mit Periodendauer \(T = \frac{T_0}{1+\sqrt{2}}= \frac{2\pi}{(1+\sqrt{2})\omega_0}\)
  4. Nicht periodisch.

2. Abtastung, Periodizität diskreter Signale

Aufgabenstellung

Ein mit \(T_0\) periodisches Signal \(v_0(t)\) werde mit der Rate \(f_A = 1/T_A\) abgetastet. Welchen Bedingungen muss \(\alpha = T_0/T_A\) genügen, damit auch die Folge \(v(n)\) periodisch ist?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 10 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

Es muss \(\alpha \in \mathbb{Q}^+\) gelten.

3. Periodizität diskreter Signale - Teil 1

Aufgabenstellung

Das Signal \(v_0(t) = \sin(\omega_0t)\) mit \(\omega_0=2\pi/T_0\) werde mit \(T_A = T_0/\alpha\) abgetastet. Überprüfen Sie für die folgenden Fälle, ob \(v(n)\) periodisch ist, und geben Sie gegebenenfalls die Periodendauer \(K\) an:

  1. \(\alpha = 5,\)
  2. \(\alpha = 5.5,\)
  3. \(\alpha = \frac{16}{3},\)
  4. \(\alpha = \pi,\)
  5. \(\alpha = 1. \)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 10 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Periodisch mit  \(K = 5\).
  2. Periodisch mit  \(K = 11\).
  3. Periodisch mit  \(K = 16\).
  4. Nicht periodisch.
  5. Periodisch mit  \(K = 1\).

4. Periodizität diskreter Signale - Teil 2

Aufgabenstellung

Gegeben ist das mit \(T\) periodische Signal \(v_0(t)=\cos(\omega_0 t)\cdot \cos(2\omega_0 t)\). Durch Abtastung mit der Abtastperiode \(T_A = \frac T4\) entsteht die Folge \(v(n)=v_0(n\cdot T_A)\).

  1. Geben Sie die Periode \(T\) von \(v_0(t)\) an.
  2. Geben Sie die Periode \(K\) der Folge \(v(n)\) an.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 10 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Es gilt:
    \begin{align*}
      v_0(t) &= \cos(\omega_0 t) \cdot \cos(2\omega_0 t) \\
                &=   \underbrace{ \cos(\omega_0 t)}_{\begin{array}{c}\textrm{Periode} \\ T_1 = \frac{2\pi}{\omega_0} \end{array}}
                                                         + \underbrace{ \cos(3\omega_0 t)}_{\begin{array}{c}\textrm{Periode} \\ T_2 = \frac{2\pi}{3\omega_0} \end{array}}  \\
    \end{align*}
    Das kleinste gemeinsame Vielfache von Periode \(T_1\) und Periode \(T_2\) ist
    \[ T = T_1 = 3T_2 = \frac{2\pi}{\omega_0}.\]
  2. Nach Aufgabe 2 gilt für die Periode \(K\) der Folge \(v(n)\)
    \[K = \min\left\{ l\alpha \; | \; l\alpha \in \mathbb{Z} \textrm{ und } l\alpha>0 \right\}\] mit \(l\in\mathbb{Z}\) und \(\alpha = T/T_A = 4\). Somit gilt \(l_{\text{min}}=1\) und \(K=4\).

5. Leistung am Widerstand

Aufgabenstellung

An einen ohmschen Widerstand von \( R\,=\,2\,\Omega \) wird die Spannung

\begin{equation*} u(t) \,\,=\,\, \begin{cases} 1\,\frac{\text{V}}{\text{s}}\,t, &
                    \text{falls}\,\, 0\, \le \,t\, \le \,3\,s ,\\[2mm]
                    0, & \text{sonst,}
                    \end{cases}                    
                    \end{equation*}

 angelegt. Berechnen Sie sowohl die Leistung als auch Energie, die in diesem Widerstand umgesetzt wird:

  1. ohne Variablennormierung,
  2. mit Variablennormierung.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 10 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

Unabhängig von der Vorgehensweise erhält man:

  1. \begin{equation*}
                                \textrm{Leistung: } p(t) = \begin{cases}
                                                                      \frac{1}{2}\,t^2 \, \frac{\textrm{VA}}{\textrm{s}^2},  & \text{für }0\leq t \leq 3\,\textrm{s},\\[2mm]
                                                                      0,                                                     & \text{sonst}.
                                                                     \end{cases}
                                \end{equation*}
  2. \begin{equation*}
                                \textrm{Energie: }   w(t) = \begin{cases}
                                                                    0,                                                     & \text{für } t < 0\,\textrm{s},\\[2mm]
                                                                  \frac{1}{6}\,t^3 \, \frac{\textrm{VA}}{\textrm{s}^2},  & \text{für }0\leq t \leq 3\,\textrm{s},\\[2mm]
                                                                  \frac{9}{2}\,\textrm{VAs},                             & \text{für }t>3\,\textrm{s.}
                                                                    \end{cases}
                                \end{equation*}

6. Systemeigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme

Aufgabenstellung

Nachfolgend sind mehrere zeitkontinuierliche Systeme, beschrieben durch die Reaktion \(y(t)\) auf die Eingangsfunktion \(v(t)\), gegeben. Überprüfen Sie jeweils, ob diese Systeme linear, verschiebungsinvariant, kausal und stabil sind:

  1. \( y(t) = v^2(t),\)
  2. \( y(t) = \frac{d}{dt}\ v(t),\)
  3. \( y(t) = \int\limits_{0}^{t} v(\tau) \ d \tau,\)
  4. \( y(t) = v(t)\cdot \sin(\omega_0 t),\)
  5. \( y(t) = v(t)\cdot r_p(t)\), mit \(r_p(t)\) siehe Abbildung unten,
  6. \( y(t) = |v(t)|,\)
  7. \( y(t) = \int\limits_{-\infty}^{t}v(\tau)\ d\tau.\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 60 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

Die Lösungen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Aufgabe Linear Verschiebungsinvariant Kausal Stabil
1. ✓ (gedächtnislos)
2. – (gedächtnisbehaftet)
3. ✓ (gedächtnislos)
4. ✓ (gedächtnislos)
5. ✓ (gedächtnislos)
6. ✓ (gedächtnislos)
7. ✓ (gedächtnisbehaftet)

7. Systemeigenschaften zeitdiskreter Systeme

Aufgabenstellung

Nachfolgend sind mehrere zeitdiskrete Systeme, beschrieben durch die Reaktion \( y(n)\) auf die Eingangsfunktion \( v(n)\), gegeben. Überprüfen Sie jeweils, ob diese Systeme linear, verschiebungsinvariant, kausal und stabil sind:

  1. \( y(n) = v^2(n),\)
  2. \( y(n) = v(n)\cdot\sin(\Omega_0 n),\)
  3. \( y(n) = \sum\limits_{\mu=0}^n v(\mu), \; n\in\mathbb{N}^+, \)
  4. \(  y(n) = v(n-N), \; N \in \mathbb{Z}.  \)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

Die Lösungen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Aufgabe Linear Verschiebungsinvariant Kausal Stabil
1. ✓ (gedächtnislos)
2. ✓ (gedächtnislos)
3. ✓ (gedächtnisbehaftet)
4. ✓ (für \( N\geq 0\))

8. Systemeigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme - Teil 2

Aufgabenstellung

Gegeben ist ein System, beschrieben durch die Reaktion \(y(t)\) auf das Eingangssignal \(v(t)\):

\begin{equation*}
                        y(t)=\cos\Big(\omega_0\cdot v(t) \Big).
                    \end{equation*}

 Untersuchen Sie, ob das System linear, verschiebungsinvariant, kausal und stabil ist.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 10 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

Linearität:

Annahme: \(v(t) = \alpha_1 v_1(t) + \alpha_2 v_2(t)\). Auf dieses Signal reagiert das System mit
                                \begin{equation*}
                                y(t) =     \textrm{S}\left\{ v(t) \right\} = \cos\left[ \omega_0 \big( \alpha_1 v_1(t) + \alpha_2 v_2(t) \big)\right] \neq \alpha_1 \cos\big( \omega_0 v_1(t) \big) + \alpha_2 \cos\big( \omega_0 v_2(t) \big).
                                \end{equation*}
                                Für ein lineares System müsste die letzte Zeile gelten. Folglich ist das System nicht linear.

Verschiebungsinvarianz:

Auf ein verschobenes Signal reagiert das System mit
                                \begin{align*}
                                \textrm{S}\left\{ v(t-\tau) \right\}  &= \cos\big( \omega_0 \, v(t-\tau) \big) = y(t-\tau).
                                \end{align*}
                                Folglich ist das System verschiebungsinvariant.

Kausalität:

Das Ausgangssignal zum Zeitpunkt \(t_0\)
                                \begin{equation*}
                                y(t_0) = \cos\left( \omega_0 \, t_0 \right)
                                \end{equation*}
                                hängt nur vom Eingagnssignal zum Zeitpunkt \(t_0\) ab. Folglich ist das System kausal und gedächtnislos.

Stabilität:

Für den Betrag des Ausgangssignals gilt
                                \begin{equation*}
                                |y(t)| = \left| \cos\big( \omega_0 \, v(t) \big) \right| \leq 1 < \infty.
                                \end{equation*}   
                                Folglich ist das System stabil.

Recent Publications

P. Durdaut, J. Reermann, S. Zabel, Ch. Kirchhof, E. Quandt, F. Faupel, G. Schmidt, R. Knöchel, and M. Höft: Modeling and Analysis of Noise Sources for Thin-Film Magnetoelectric Sensors Based on the Delta-E Effect, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, published online, 2017

P. Durdaut, S. Salzer, J. Reermann, V. Röbisch, J. McCord, D. Meyners, E. Quandt, G. Schmidt, R. Knöchel, and M. Höft: Improved Magnetic Frequency Conversion Approach for Magnetoelectric Sensors, IEEE Sensors Letters, published online, 2017

 

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Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
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