Signale und Systeme - Fourierreihen und DFT

1. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \(c_\mu\) der folgenden Signale:

  1. \(\displaystyle v_{\text{D}}(t) = \begin{cases}          
                                - \frac{2}{T}\ t,  &  -\frac{T}{2} \leq t < 0\\
                                \frac{2}{T}\ t, &   0 \leq t < \frac{T}{2}
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit } v_{\text{D}}(t) = v_{\text{D}}(t+\lambda T),\; \lambda \in \mathbb{Z}  \)
  2. \(\displaystyle  v_{\text{R}}(t) = \begin{cases}
                                k, & 0 < t \leq \frac{T}{2}\\
                                -k, & \frac{T}{2} < t \leq T\\
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit }v_{\text{R}}(t) = v_{\text{R}}(t+\lambda T),\; k \in \mathbb{R},\; \lambda \in \mathbb{Z}\)
  3. s. Abbildung

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                 c_\mu = - \frac{1}{\left(\mu \pi\right)^2} \big[1-\cos(\mu\pi)\big]
                                    = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                        & \mu = 0 \\
                                    0,                                  & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Der obere Fall gilt also für alle ungeraden \(\mu\), der untere für alle geraden \(\mu\).
  2. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - j\frac{2k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Für die äquivalente Darstellung als trigonometrische Fourier-Reihe gilt
                                  
                                    \(
                                    a_\mu = 0, \; \forall \mu \)<br>
                                    \(
                                    c_0   = \frac{a_0}{2} = 0 \)<br>
                                    \(
                                    b_\mu = \begin{cases}
                                    \frac{4k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases} \)
  3. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2} + j \frac{4}{\mu\pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                                             & \mu = 0 \\
                                    0,                                                       & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)

2. DFT

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die DFT (Diskrete Fopurier-Transformation der unten angegebenen Folgen \(v(n)\) der Länge \(M\):

  1.  \(v(n) = \gamma_0(n-k)\)      \(k \in \{0,1,...,M-1\}\)
  2.  \(v(n) = \cos(\Omega_0 n)\)    \(\Omega_0 \in \{1,2,....M-1\}\)
  3.   \(v(n) = \begin{cases} 1&\text{,}0\leq n \leq e-1\\0& \text{,}e \leq n \leq M-1 \end{cases}\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

 

3. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Gegeben ist das periodische Signal \(v(t)\) wie in der Abbildung skizziert.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten \(c_\mu\) des Signals \(v(t)\) einschließlich des Gleichanteils \(c_0\).

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

Das Signal \(v(t)\) formelmäßig ausdrücken:

\( v(t)=t+1 \quad \textrm{für } -1 \leq t < 1 \quad\textrm{ und } v(t)=v(t+\lambda T), \textrm{ mit Periode } T \textrm{ und } \lambda\in\mathbb{Z} \)

Mithilfe der Definitionsgleichung, der partieller Integration und \(T=2\) folgt: 

\(  c_\mu =\frac{1}{T}\cdot \frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi)  =\frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) = \frac{j}{\mu\pi} \cdot (-1)^\mu \)

Für den Gleichanteil/Mittelwert gilt:

\( c_0 = \frac{1}{T}  \int_0^T v(t) \ dt = \frac{1}{T}  \int_{-T/2}^{T/2} (t+1) \ dt =  \frac{1}{T}  \left[ \frac{1}{2}t^2 +t \right]_{-T/2}^{T/2}     = \frac{1}{T} \cdot \left[ \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} - \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} \right] = 1\)

4. Fourier-Reihe, Abtastung, diskrete Fourier-Transformation

Aufgabenstellung

Gegeben ist das kontinuierliche Signal \(v_0(t)=\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}  t\right)\). 

  • Geben Sie die Fourierreihen-Koeffizienten von \(v_0(t)\) an. 

Die Folge \(v(n)\) entsteht nun durch Abtastung des Signals \(v_0(t)\). Die Abtastperiode ist dabei \(T_A=T/4\).

  • Ist das Abtasttheorem erfüllt? 
  • Geben Sie die DFT \(V_M(\mu)\) der Folge \(v(n)\) an. Benutzen Sie dabei die Definitionsgleichung der DFT mit der Größe \(M=4\).
  • Bestimmen Sie jetzt die DFT anhand des Überlagerungssatzes der DFT.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 45 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • Es gilt:\[c_0 = \frac12,\, c_2 = \frac14 ,\, c_{-2} = \frac14 ,\, c_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{-2,\,0,\,2\} \] bzw.
  • \[c_0 = \frac12,\, a_2 = \frac12 ,\, a_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{0,\,2\},\, b_\mu = 0 \;\forall \mu \] für die trigonometrische Fourier-Reihe.
  • Das Abtasttheorem ist erfüllt. Für das abgetastete Signal gilt 
  • \[ v(n) = \begin{cases} 1 &, \textrm{ falls \(n\) gerade} \\    0 &, \textrm{ falls \(n\) ungerade.} \end{cases} \] 
  • \[V_4(\mu) = \begin{cases} 2 &, \textrm{ für } \mu=0 \\   0 &, \textrm{ für } \mu=1 \\             2 &, \textrm{ für } \mu=2 \\       0 &, \textrm{ für } \mu=3.  \end{cases}\]

 

  • Siehe vorherige Aufgabe.

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03.08.2017: Started with the RED project. Will be ready in a few years ...

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Recent Publications

P. Durdaut, J. Reermann, S. Zabel, Ch. Kirchhof, E. Quandt, F. Faupel, G. Schmidt, R. Knöchel, and M. Höft: Modeling and Analysis of Noise Sources for Thin-Film Magnetoelectric Sensors Based on the Delta-E Effect, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, published online, 2017

P. Durdaut, S. Salzer, J. Reermann, V. Röbisch, J. McCord, D. Meyners, E. Quandt, G. Schmidt, R. Knöchel, and M. Höft: Improved Magnetic Frequency Conversion Approach for Magnetoelectric Sensors, IEEE Sensors Letters, published online, 2017

 

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Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
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Digital Signal Processing and System Theory

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24143 Kiel, Germany

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